Векторная запись нелинейных систем.

 

Пусть требуется решить систему уравнений

                                                          (1.1)

где f1, f2,…, fn - заданные действительные функции от n  действительных переменных x1, x2,…, xn. Обозначим

,                             (1.2)

данную систему запишем в виде одного уравнения

F(x) = 0.                                                                   (1.3)

Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как задачу о нулях отображения F:Rn® Rn. В этой постановке данная задача является обобщением задач предыдущего параграфа.

 

1.      Метод простой итерации решения нелинейных систем.

 

Пусть система (6.1) преобразована к виду

                                                     (2.1)

или иначе

x = G(x),                                                                   (2.2)

где

.

Для этой задачи запишем рекуррентное равенство

x(k + 1) = G(x(k )), k = 1,2,… ,                                                    (2.3)

которое определяет метод итерации (метод последовательных приближений) для задачи (2.1).

Теорема 2.1. Пусть функция G(x) определена в замкнутом множестве M ÍD(G) Í Rn и выполняются условия:

1) " (x Î M) G(x)Î M ,

2)    $ (qÎ (0,1)) " (x1 , x2Î M) || G(x2) - G(x1)|| £ q||x2 - x1||.

Тогда G(x) имеет и М единственную неподвижную точку x*, определяемую по формуле (2.3), последовательность(xk), начинающаяся с любого x(0)  Î М, при этом для любого k = 1, 2, … 'справедливы оценки погрешности

.                        (2.4)

Теорема 2.2. Пусть функция G(x) дифференцируема в замкнутом шаре S(x(0),r) ÍD(G) Í Rn, причем $ (qÎ (0,1))  Тогда если центр x(0)  и радиус r шара таковы, что,

|| x(0) - G(x(0))|| £ r (1 - q),

то справедливо заключение теоремы 2.1.

В развернутом виде метод итерации (2.3) имеет вид:

По аналогии с методом Зейделя есть метод покоординатной итерации, который выполняется по формулам:

                                          (2.5)

Пусть (Ak)  -некоторая последовательность невырожденных матриц порядка n. Тогда, очевидно, последовательность задач

x = x - Ak F(x); k = 1, 2, …

имеет тоже решение, что и исходная система уравнений (1.3). Для приближенного нахождения этих решений можно формально написать итерационный процесс

x(k+1) = x(k) - AkF(x(k)); k = 1, 2, …                                                  (2.6)

имеющий вид метода простой итерации при G(x) = Gk(x) = AkF(x). В случае Ak = A это метод итерации с линейной сходимостью последовательности(xk). Если же Ak различны, то формула определяет семейство итерационных методов с матричными параметрами Ak. Рассмотрим некоторые из методов этого семейства.