1.     Общие сведения и определения

Определение 1. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

,                                   (1)

которое связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные y',y'',…, y(n).

Определение 2. Порядком дифференциального уравнения называется максимальный порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение.

Определение 3. Решением или частным решением дифференциального уравнения (1) называется такая функция y = y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные y'(x), y''(x), …, y(n)(x), при подстановке которых в уравнение (1) получим тождественное равенство от х: .

Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

,                                                 (2)

где  - функция от трех переменных, определенная в области W Í R3, которая непрерывна в области вместе со своими частными производными связывает независимую переменную x, неизвестную функцию y и ее производные y',y'',…, y(n).

Определение 5. Задачей Коши для  дифференциального уравнения (2) первого порядка  называется задача нахождения решения y = y(x) дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0, где (x0, y0) - заданная точка плоскости. начальное условие.

Если уравнение  (2) можно записать в виде

y' = f(x, y),                                                     (3)

то говорят, что дифференциальное уравнение (2) разрешимо относительно производной.

Определение 6. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = j(x, c), содержащая произвольную постоянную c и удовлетворяющая условиям:

1)     функция j(x, c) является решением дифференциального уравнения при любом фиксированном значении с;

2)     для любого начального условия y(x0) = y0 найдется такое значение постоянного с = с0, что функция j(x, с0), удовлетворяет этому начальному условию.

Определение 7. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x, c0), полученная из общего решения y = j(x, c)

Если общее решение дифференциального уравнения находится в неявном виде F(x, y, c) = 0, то его называют общим интегралом дифференциального уравнения. Уравнение F(x, y, c0) = 0 называют частным интегралом.

Общее решение y = j(x, c) дифференциального уравнения изображается на плоскости в виде семейства интегральных кривых , частное решение y = j(x, c0) - одна кривая этого семейства, проходящая через точку (x0, y0).

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).  Пусть дано дифференциальное уравнение

                                                   (4)

при начальном условии

y(x0) = y0                                                                                     (5)

Пусть далее функция f(x, y) и ее частная производная непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x0, y0). Тогда существует единственное решение y = y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (5).

Теорема 2.  Пусть функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D = {x0 - a £ x £ x0 + a, y0 - b £ y £ y0 + b} и имеет в нем ограниченную производную  , удовлетворяющую неравенству . Тогда на отрезке s = [x0 - d, x0 + d],  где , где  существует единственное решение y = y(x) дифференциальное уравнение (4), удовлетворяющее начальным условиям (5). При этом выполняется неравенство  .  Решение y(x) - непрерывно дифференцируемо на s. Если f(x, y) имеет непрерывные частные производные по x и y порядка p, то y(x) имеет на s непрерывные частные производные до порядка p + 1 включительно.

 

Определение 6. Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y = j(x, c), содержащая произвольную постоянную c и удовлетворяющая условиям:

3)     функция j(x, c) является решением дифференциального уравнения при любом фиксированном значении с;

4)     для любого начального условия y(x0) = y0 найдется такое значение постоянного с = с0, что функция j(x, с0), удовлетворяет этому начальному условию.

Определение 7. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y = j(x, c0), полученная из общего решения y = j(x, c)

Если общее решение дифференциального уравнения находится в неявном виде F(x, y, c) = 0, то его называют общим интегралом дифференциального уравнения. Уравнение F(x, y, c0) = 0 называют частным интегралом.

Общее решение y = j(x, c) дифференциального уравнения изображается на плоскости в виде семейства интегральных кривых , частное решение y = j(x, c0) - одна кривая этого семейства, проходящая через точку (x0, y0).

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).  Пусть дано дифференциальное уравнение

                                                   (4)

при начальном условии

y(x0) = y0                                                                                     (5)

Пусть далее функция f(x, y) и ее частная производная непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x0, y0). Тогда существует единственное решение y = y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (5).

Теорема 2.  Пусть функция f(x, y) непрерывна в прямоугольнике D = {x0 - a £ x £ x0 + a, y0 - b £ y £ y0 + b} и имеет в нем ограниченную производную  , удовлетворяющую неравенству . Тогда на отрезке s = [x0 - d, x0 + d],  где , где  существует единственное решение y = y(x) дифференциальное уравнение (4), удовлетворяющее начальным условиям (5). При этом выполняется неравенство  .  Решение y(x) - непрерывно дифференцируемо на s. Если f(x, y) имеет непрерывные частные производные по x и y порядка p, то y(x) имеет на s непрерывные частные производные до порядка p + 1 включительно.

Разрешая уравнение (1) относительно n-й производной, получаем

.                                   (2)

Теорема 1 (существования и единственности решения задачи Коши).  Пусть правая часть  уравнения (2), рассматриваемая как функция от n+1 переменных, непрерывна и имеет в некоторой окрестности W точки непрерывные частные производные . Тогда существует интервал (a, b) и определенная на нем  раз непрерывно дифференцируемая функция , удовлетворяющая уравнению (2) и начальным условиям

y(x0) = y0, y' (x0) = y'0, …, y(n-1) (x0) = y0(n-1),                                     (3)

Пусть далее функция f(x, y) и ее частная производная непрерывна в некоторой области D, содержащей точку (x0, y0). Функция, обладающая указанными условиями единственна.

Нахождение решения уравнения (2), удовлетворяющего начальным условиям (3) называется задачей Коши.

Если зафиксировать x0 , то каждой системе чисел y0 = С0,y'0 = С1, …,  y0(n-1 = Ст--1, обладающей свойством (x0 , С0, С1, …, Ст--1), будет соответствовать решение нашего дифференциального уравнения, которое можно записать в виде

.                                             (4)

гда существует единственное решение y = y(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (5).

Определение 2. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция , содержащая произвольную постоянную С1, С2, …, Сn и удовлетворяющая условиям:

5)                        функция  является решением дифференциального уравнения при любом фиксированном значении С1,С2,…, Сn;

2) для любого начального условия (3) найдутся такие значение постоянных С10,С20,…, Сn0, что функция , удовлетворяет этим начальным условиям.

Определение 3. Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , полученная из общего решения .

Если общее решение дифференциального уравнения находится в неявном виде F(x, y, С1, С2, …, Сn) = 0, то его называют общим интегралом дифференциального уравнения. Уравнение F(x, y, С10,С20,…, Сn0) = 0 называют частным интегралом.

Проинтегрировать (решить) дифференциальное уравнение n-го порядка означает найти его общее или частное решение.

Любое дифференциальное уравнение n-го порядка эквивалентно системе из n дифференциальных уравнений первого порядка:

Введем функции y1(x)= y, y2(x)= y', y3(x)= y'',…, yn(x)= y(n-1). Тогда ДУ (2) эквивалентно системе

                                      (5)

 

2.     Метод Эйлера

 

В основе метода Эйлера лежит идея графического решения дифференциального уравнения.

Пусть дано уравнение

         (1)

с начальным условием

y(x0) = y0                   (2)

Выбирая достаточно малый шаг h, построим начиная с точки x0 систему равно отстоящих точек xi = x0 + ih (i = 0,1,2…). Вместо искомой интегральной кривой на отрезке [x0, x1] рассмотрим отрезок касательной к ней в точке L0(x0, y0), уравнение которой имеет вид

.

При x = x1 из уравнения касательной получаем

.

Следовательно, приращение функции на первом шаге равно

.

Проведя аналогичную касательную к интегральной кривой в точке L1(x1, y1), уравнение которой имеет вид

.

При x = x2 из уравнения касательной получаем

.

Следовательно, приращение функции на втором шаге равно

.

Таким образом, вычисление таблицы значений функции, являющейся решением дифференциального уравнения (1), состоит в последовательном вычислении по паре формул:

,                                             (3)

,                                                        (4)

Вычислим погрешность метода Эйлера на каждом шаге. Во первых найдем локальную погрешность, присутствующую на каждом шаге, которая определяется разностью между точным значением функции и соответствующим значением касательной. На первом шаге

.       (5)

Из этой формулы видно, что локальная погрешность пропорциональна h2. Суммарная погрешность Ds после N шагов пропорциональна N×O(h2), поскольку N = 1/h, то Ds  = O(h). Таким образом, метод Эйлера – метод первого порядка точности по h.