1.      Локализация корней. Погрешности корней алгебраического уравнения.

 

Пусть f - действительная функция одной действительной переменной. Рассмотрим задачу приближенного нахождения нулей функции f, т.е. задачу нахождения корней уравнения вида:

f(x) = 0.                                                              (1.1)

Оно называется скалярным, числовым или конечным уравнением. Требуется найти корни уравнения (1.1), т.е. такие значения аргумента x, при которых равенство f(x) = 0 истинно.

Методы решения алгебраических уравнений разбиваются на прямые и итеративные (методы последовательных приближений). Прямые методы представляют корни в виде некоторых конечных соотношений (формул). Итеративные методы позволяют находить корень приближенно, с заданной степенью точности. Под близостью приближенного значения x* к корню x уравнения (1.1) понимаются выполнимость неравенства

|x - x*| < e

при малых e, или близость относительной погрешности |x - x*| /|x*| величины x* к нулю.

Задача численное решение скалярного уравнения разбивается на подзадачи:

1. Установить существования и определить границы интервала, где находятся корни уравнения.

2. Отделить корни, т.е. выделить отрезки, на каждом из которых находится ровно по одному корню уравнения.

3. Уточнить корень, т.е. вычислить корень с заданной степенью точности.

4. Анализ  полученных результатов.

Не существует общего метода решения первой подзадачи. Здесь на помощь численным методам приходят методы математического анализа, алгебры и геометрии. Наиболее изучено алгебраическое уравнение (1.1), т.е. такое, которое может быть приведено к виду

a0xn + a1xn-1 + …+ an  = 0 (a0 ¹ 0)                                         (1.2)

По основной теореме алгебры это уравнение имеет n корней, если каждый корень считается столько раз какова его кратность. Границы корней этого уравнения можно найти и помощью теоремы.

Теорема 1.1. Корни уравнения (1.2) удовлетворяют неравенству

,

где .

Доказательство.

=.

Полагая,  |x|>1, усилим неравенство и в результате получим. Следовательно, неравенство f(x) > 0 будет выполнятся, если или . Таким образом, f(x) > 0 при . Следовательно, все корни уравнения (1.2) удовлетворяют неравенству .

Чтобы найти нижнюю границу корней уравнения (1.2) выполним в (1.2) замену  x на 1/t и получим   или  .

Пример. Найти область, где находятся корни уравнения x4-2,5 x3+ 3x2 -4,5 = 0.

Находим a = 4,5;  Тогда находим 4,5/8,5 £ |x| £  1 + 4,5/1, |x| Î (0,5; 5,5). 

Отделение корней уравнения можно выполнить аналитически и графически. При аналитическом способе отделения корней можно использовать следующие две теоремы.

Теорема 1.2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков, т. е. f(a)f(b)<0. Тогда на (a, b) содержится хотя бы один корень уравнения (1.1).

Теорема 1.3. Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на отрезке [a, b], принимает на его концах значения разных знаков (f(a) f(b) <0), производная f'(x) на отрезке (a, b) знакопостоянна. Тогда на (a, b) содержится единственный корень уравнения (1.1).

Один из способов локализации корней графический. При графическом способе строится график функции y = f(x) и выделяются те промежутки, где график пересекает ось Ox. В некоторых случаях удобно уравнение (1.1) представить в виде

f1(x) = f2(x)

и построить графики функций y = f1(x), y = f2(x). Тогда корни уравнения будут приближенно совпадать с абсциссами точек пересечения построенных графиков.

Пример. Найти промежутки изоляции корней уравнения  x2sin x 1 = 0.

Представим это уравнение в виде x2 -1 = sin x и строим графики функций y = x2-1 , y = sin x (см. рис. 1). Абсциссы точек пересечения построенных графиков лежат на отрезках, и поэтому можем заключить, что уравнение имеет два корня, которые лежат на интервалах (-1, 0) , (1, 3).