. Метод Ньютона решения нелинейных систем.

 

Положим Ak = (F'(x(k)))-1, где

матрица Якоби вектор-функции. Подставив это в (2.6) получим формулу метода Ньютона

x(k+1) = x(k) - (F'(x(k)))-1F(x(k)); k = 1, 2, …,                                        (3.1)

обобщающую на многомерный случай скалярный метод Ньютона.

Эту формулу, требующую обращения матриц на каждой итерации, можно переписать в неявном виде:

F'(x(k))(x(k+1) - x(k))= -F(x(k)); k = 1, 2, ….                                      (3.2)

Для того, чтобы применить (3.2) при каждом k = 1, 2, ….необходимо решить СЛАУ

F'(x(k))p(k) = -F(x(k))

относительно векторной поправки p(k), а затем прибавить эту поправку к текущему приближению для получения следующего

x(k+1) = x(k) + p(k)

К решению СЛАУ можно применять различные методы.. Фактором осложняющим применение метода Ньютона к решению n -мерных систем, является необходимость решения СЛАУ на каждом шаге итерации. Это ведет непропорционально быстрому увеличению затрат времени.

Если матрицу Якоби вычислить и обратить один раз в начальной точке, то метод ньютона придет к модифицированному методу Ньютона

x(k+1) = x(k) - (F'(x(0)))-1F(x(k)); k = 1, 2, ….                                  (3.3)

Он требует меньше вычислительных затрат на один шаг, но при заданной точности вычислений приходится делать больше шагов.

Среди множества таких методов особый интерес представляет метод секущих, основанный на формулах

                                                (3.4)

В этом процессе можно начинать с матрицы B0 » F'(x(0))).

Для останова процесса вычисления в методе Ньютона и методе секущих используют следующий критерий:

||x(k) - x(k-1)|| < e Þ x* » x(k).

 Отслеживать факт сходимости метода, можно с помощью текущих проверок на уменьшение от шага к шагу поправок и невязок, т.е. выполнение неравенств

||x(k) - x(k-1)|| < ||x(k-1) - x(k-2)||,   ||F(x(k))|| < ||F(x(k-1))||.

Пример. В окрестности точки x0 = 0, y0 = -1  решить данную систему методом Ньютона с точностью e = 0,01.

Построим итерационный процесс вида (3.3)

Вычислим матрицу Якоби

.

Тогда уравнение итерации Ньютона принимает вид:

 

Шаг

1

2

3

4

x

0

-0,4715

-0,4659

-0,4656

y

-1

-1,6647

-1,6784

-1,6785

Решения системы: x = -0,46 ±0,01; у = -1,68 ±0,01 .