1.     Метод Рунге-Кутта.

                                                             

Метод Эйлера и метод Эйлера-Коши относятся к семейству методов Рунге-Кутта. Для построения этих методов можно использовать следующий общий подход. Фиксируются некоторые числа:

a2,…,aq; p1, p2,…, pq; bij, 0< j < i £ q.

Последовательно вычисляем:

      (1)

Полагаем

                              (2)

Рассмотрим вопрос о выборе параметров  a2,…,aq; p1, p2,…, pq; bij, 0< j < i £ q. Обозначим

j(h) = y(x+h) – z(h).

Будем предполагать, что

и

для некоторой функции f(x, y).

По формуле Тейлора справедливо равенство

,                                  (3)

где 0< q < 1).

При q =1 будем иметь

j(h) = y(x+h) – y(x) – p1 f(x, y),

j’(0) = (y’(x+h) –p1 f(x, y)|h =0 = f(x, y)(1- p1),

j”(h) = y’’(x+h).

Заметим, что равенство j’(0) = 0 выполняется для любой функции f(x, y), лишь при условии, что p1 = 1. При данном значении p1 из формул (2) получаются формулы метода Эйлера. Погрешность данного метода на каждом шаге в силу формулы (3) равна 

.

Рассмотрим случай q =2. Будем иметь

j(h) = y(x+h) – y(x) – p1 f(x, y) – p2 f(`x,` y),

где

.

Согласно исходного уравнения имеем

y’ = f,

(4)

Вычисляя производные j(h) и подставляя в выражение для j(h), j’(h), j”(h) значение h = 0 получаем

j’(0) =  f(x, y)(1- p1- p2),

j”(0) =(1-2 p2 a2 ) fx + (1-2 p2 b21) fy f.                                  (5)

Требование

будет выполнятся для всех f(x, y) только в том случае, если одновременно справедливы три равенства с параметрами

1- p1- p2 = 0, 1-2 p2 a2  =0, 1-2 p2 b21= 0.                                    (6)

Задавая произвольно значение одного параметра и определяя значения остальных из системы (6), можно получить различные методы Рунге-Кутта 2-го порядка. Например, при p1 = ½ получим p2 = ½, a1 = 1, b21 = 1.

При выбранных значениях параметров формула (2) приобретает вид

Таким образом, в этом случае приходим к формуле Эйлера Коши. Из (3) следует, что на каждом шаге эта формула имеет погрешность

 ,

следовательно, метод Эйлера-Коши имеет 3- порядок.

На практике наиболее часто используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка с  q = 4, s = 4, который реализуется по формулам:

                             (7)

Погрешность рассматриваемого метода на каждом шаге прямр пропорциональна пятой степени шага.

Геометрически метод Рунге-Кутта состоит в усреднении направления движения точки вычисленной в четырех различных направлениях.