Определение 4.1. Многочленом Чебышева  n -й степени называется многочлен, заданный формулой: Tn(x) = cos (n arccos x).

Теорема 4.1. Tn(x)  - многочлен степени n и со старшим коэффициентом 2n.

Доказательство.  Проводим методом математической индукции по n. При n =1 имеем

T1 (x) = cos (arccos x) = x,

при n = 2

T1 (x) = cos (2arccos x) = 2 cos 2 (arccos x) -1 = 2x2 - 1.

Предположим, утверждение справедливо для всех многочленов Tk(x)  - многочлен степени k £ n, Докажем, что Tn +1 (x) - многочлен степени n +1. По определению Tn +1 (x) = cos ((n+1) arccos x).

Обозначая a = arccos x, получим:

Tn +1 (x) = cos ((n+1) a) = cos (na) cos a - cos ((n-1)a) = cos (narccos x) cos (narccos x) - cos ((n - 1)arccos x).

Tn +1 (x) = 2 x Tn  (x) - Tn -1 (x).

По предположению многочлены Tn  (x) и Tn -1 (x) имеют соответственно степени n и n - 1, старший коэффициент многочлена Tn  (x) равен 2n. Тогда многочлен Tn +1 (x) имеет степень равную степени многочлена 2xТn (x), которая равна n +1 старший коэффициент 2n +1.

Корни многочлена Тn (x) находятся из решения уравнения

cos (n arccos x) = 0.

Решая это уравнение, находим на отрезке [-1,1]  n-1 корней

, i = 0,1,…,n-1.

Теорема 4.2.  достигается при значениях x0 < x1 <…< xn, совпадающих с нулями многочлена Чебышева  n +1- й степени.

Из доказанной теоремы следует, что многочлен со старшим коэффициентом, наименее уклоняющийся от нуля, есть многочлен Tn  (x)/ 2n. Отсюда и из предыдущего параграфа доказывается, что наилучшую оценку при интерполяции функции многочленом в точке x отрезка [a, b] получится, если в качестве узлов взять точки

; i = 0,1,…,n,

при этом получится оценка погрешности

.