1.      Общая задача интерполирования

 

Каждый специалист, занимающийся практической или теоретической деятельностью, имеют дело с взаимосвязанными различными величинами, связанными с изучаемым объектом. Взаимосвязь между величинами удобно изучать, если она представлена аналитически в виде функций. В практической  деятельности она выражается в виде таблиц, в которые заносятся результаты экспериментов или практической деятельности. Получается зависимость, которая задает некоторую табличную функцию.

Табличную функцию задаем, либо в виде таблицы значений, либо в виде графика табличной функции.

Задача, приводящая к приближению функций, заключается в следующем: даны точки (xi, yi) ; i = 1,2,…, n , и требуется найти функцию y = f(x), которая проходила бы через эти точки, т.е.

yi = f(xi); i = 1,2,…, n.

Говорят в этом случае, что функция f интерполирует данные, и называется интерполянтом или  интерполирующей функцией. Точки xi ; i = 1,2,…, n, x0 < x1 <…< xn, называются узлами интерполяции.

Задачей интерполирования  функции состоит в нахождении точного или приближенного значения величины по известным ее значениям в отдельных точках (узлах интерполяции).

Задачей экстраполяции функции состоит в том, чтобы найти значение функции, заданной таблично в точках, лежащих вне отрезка .

Задачей аппроксимации функции состоит в приближенном нахождении найти значение функции, заданной таблично в точках, более простой приближенной функцией определенного вида.

Иногда из дополнительных соображений известно, что интерполирующую функцию следует искать в виде

f(x) » f(x; a1, a2,…, an),

где параметры  определяются из условий совпадения на наборе точек xi ; i = 1,2,…, n,

f(xi) = f(xi; a1, a2,…, an); i = 1,2,…, n.

Интерполирование может, также выполнятся, и для функций более чем одного измерения.

Заметим, что данные сами по себе не могут определить интерполяцию. Для фиксированного набора данных существует бесконечно много интерполянтов.

Интерполяция полезна, когда данные не содержат ошибок. Приближенные данные аппроксимируют по-другому. Наиболее употребительным способом аппроксимации приближенных данных является метод наименьших квадратов.

Предположим, что x1< x2 <…< xn. Нахождение интерполянта, дающего приемлимые значения, зависит от процесса, порождающего данные. При стандартном подходе предварительно выбирается базовые функции b1(x), b2(x), …, bn(x) из соображений опыта или математических и физических соображений. Из базовых функций строится модель

f(x) = a1b1(x) + a2b2(x) +…+ an bn(x),

в которой коэффициенты a1, a2,…, an выбираются так, чтобы функция f(x) стала интерполянтом. Таким образом, должны выполнятся условия

a1b1(xi) + a2b2(xi) +…+ an bn(xi) = yi; i = 1,2,…, n.                                    (1.1)

Коэффициенты a1, a2,…, an можно найти решая эту систему линейных уравнений.

Чаще всего интерполируем полиномами и качестве базовых функций берем степени переменного ( bi(x) = xi ; i = 0,1,…, n).

Пример. Найти квадратный интерполянт по точкам (-1,2), (1,1), (2,1). Такой интерполянт имеет вид f(x) = a0 + a1x + а2x2. По узлам составляем систему линейных уравнений вида (1.1):

Определитель системы d = 6. Решаем систему по правилу Крамера: a0 = 4/3, a1= -1/2, а2 = 1/6. Получаем интерполянт f(x) =