Оценка погрешности интерполирования.

 

Для получения погрешности интерполирования, введем вспомогательную функцию

,

где f - исходная функция, ln(x) - интерполянт, x - точка, в которой оценивается погрешность. Предположим, что интерполируемая функция дифференцируема n + 1 раз. Тогда

.

Функция обращается в нуль в n + 2 точках отрезка x0, x1,…, xn, x отрезка [a, b] (a = min(x0, x1,…, xn, x), b = max(x0, x1,…, xn, x).  На основании теоремы Роля ее производная F '(u) обращается в нуль по крайней мере в n + 1 точках отрезка. [a, b]. Продолжая применять теорему Роля получим, что F (n+1) (u) обращается в нуль по крайней мере в одной точке промежутка q Î[a, b].

или

.

Пусть  для uÎ [a, b]. Тогда

.

Такая оценка возможна, если известны аналитические выражения для функции f. Если f  задана таблицей, то производные заменяются конечными разностями. Величина не зависит от способа вычисления. Выбором узлов можно уменьшить второй сомножитель.