1.      Погрешности корней скалярного уравнения

 

При решении нелинейного уравнения вида (1.1) каждый корень зависит от одного или нескольких параметров и его можно рассматривать как представителя семейства уравнений

f(x,a1, a2,…, an) = 0.                                                   (2.1)

Наличие корней уравнения (1,1) связано с существованием неявной функции х = g(a1, a2,…, an) при данном наборе значений параметров a1, a2,…, an. Погрешность коэффициентов уравнения (2.1) влияет на погрешность его корней. Оценим главную часть этой погрешности, понимая под ней модуль дифференциала неявной функции:

.

Переходя к модулям и заменяя абсолютные погрешности их оценками  , получим формулу для оценки абсолютной погрешности корня (безусловную абсолютную погрешность корня):

.                                     (2.2)

Найдем оценку близости приближенного значения корня x* к истинному x, используя формулу Лагранжа:

интервалу от x*, x .

Отсюда находим оценку Ньютона:

.                                                              (2.3)

Из формул  (2.2) и (2.3) следует, что уточнение корня должно вестись до тех пор пока не выполнятся условие:

.                                 (2.4)

Таким образом, большую роль в неравенстве (2.4) играют модули частных производных данной функции по параметрам, называемые коэффициентами чувствительности уравнения.