ѕогрешности. »сточники и классификаци€ погрешностей. јбсолютные и относительные погрешности.

 

 

¬ычислительна€ математика по€вилась в середине второго тыс€челети€. ќна отличаетс€ от ручных вычислений, так как ручные вычислени€ можно обозревать, а машинные нет, и вычислени€ завис€т от точностимашинной арифметики. –учные вычислени€ короткие, а машинные вычислени€ бывают очень длинные, и ничтожно малые ошибки в них могут накапливатьс€. ѕри численном решении математических и прикладных задач по€вл€ютс€ погрешности следующих трех типов.

1.     ѕогрешность задачи - св€зана с приближенным характером самой модели, математическое описание и параметры в задаче приближенные. ƒл€ вычислител€ погрешность задачи неустранима. ¬ технических и физических задачах погрешность измерени€ составл€ет 1-10%.

2.     ѕогрешность метода - св€зана со способом решени€ поставленной математической задачи, подмена математической модели задачи другой. ¬ численных методах закладываетс€ возможность доведени€ погрешностей метода до сколь угодно малого уровн€. ѕогрешность метода устранима€.

- математическа€ модель Ц неустранима€ погрешность путем вычислений, так как св€зана с некоторыми физическими допущени€ми.

- приближенный метод Ц устранима€ погрешность. ¬ыбираетс€ так, чтобы она была в несколько раз лучше неустранимой погрешности.

3. ѕогрешность округлени€ - св€зана с округлением чисел и зависит от примен€емой вычислительной техники.

¬се три типа погрешностей дают полную погрешность. ѕервый тип погрешностей служит ориентиром точности. Ќет смысла решать задачу точнее, чем это допускают исходные данные. ѕогрешность округлени€ не должна существенно отражатьс€ на реализации методов.

«начаща€ цифра числаЦ люба€ цифра в дес€тичном изображении числа, отлична€ от нул€ или нуль, если он расположен между значащими цифрами или расположен в конце числа и указывает на сохранение разр€да точности числа.

ѕример. ¬ записи чисел 20,4 и 20,40 все цифры значащие.

¬ записи числа 2400 трудно определить, какие нули значащие и поэтому используют нормализованные записи чисел. Ќапример, если в этом числе нули не €вл€ютс€ значащими цифрами, то пишем 2400 = 2,4E3 или 2400 = 0,24E4; если в этом числе нули €вл€ютс€ значащими цифрами, то пишем 2400 = 2,400E3 или 2400 = 0,2400E4.

¬ приближенных вычислени€х часто приходитс€ округл€ть. ѕри этом используетс€ следующее правило округлени€.

ѕравило округлени€. ≈сли в старшем из отбрасываемых разр€дов стоит цифра меньша€ п€ти, то содержимое сохран€емых разр€дов не мен€етс€. ¬ противном случае в младший из оставл€емых разр€дов добавл€етс€ единица с тем же знаком, что у самого числа .

ѕример. Ќапример, округление чисел до двух значащих цифр.

1,355 ї 1,35

22345ї 223 = 2,33E2

0,056678ї 5,55E-2

-12355ї -12400=-1,24E4

ѕриближенным значением числа A называетс€ число, которое отличаетс€ от данного числа и представл€ет его в вычислени€х.

ќпределение1.1.≈сли A - точное число, а - приближенное число. „исло Da:= ½A - a½ называетс€ абсолютной погрешностью приближенного числа a.

„исло da:=называетс€ относительнойпогрешностью приближенного числа a.

„исло Da ³ Da называетс€ оценкой или границей абсолютной погрешности или предельной абсолютной погрешностью. „исло da ³ da называетс€ оценкой или границей относительной погрешности или предельной относительной погрешностью.

Ќа практике оценка абсолютной погрешности задаетс€ в скобках после числа. Ќапример, 3,456 (±0,023). Ќа практике оценка относительной погрешностиуказывают в процентах. Ќапример, 3,456 (d=5%).

ѕредельную относительную погрешность приближенного числа можно выразить через предельную абсолютную погрешность числа по формуле:

da:=.

ќбычно относительна€ и абсолютна€ погрешности неизвестны, а известны их оценки и их также часто называют относительной и абсолютной погрешност€ми.

ѕример. ¬ес нетто банки 600 (±10) г. ѕлощадь пол€500 м2 с точностью до 1%.

«начащую цифру числа называют верной в узком смысле, если абсолютна€ погрешность числа не превосходит половины единицы разр€да, в котором стоит эта цифра.

«начащую цифру числа называют верной в широком смысле, если абсолютна€ погрешность числа не превосходит единицы разр€да, в котором стоит эта цифра.

ѕример. ¬ приближенном числе 3,456 (±0,006) значащие цифры 3 и4 верные в узком смысле , а цифры 4 и 6 сомнительные.

¬ приближенном числе 3,456 (±0,006) значащие цифры 3, 4 и 5 верные в широком смысле , а цифра 6 сомнительна€.

“очность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр.