Среднеквадратичное приближение функции отрезком ряда Фурье

 

В этом параграфе рассматриваем приближение таблично заданной f(x) функции отрезком ряда Фурье. Из курса высшей математики известно, что если f(x) непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с периодом 2l, то отрезок ряда j(x) Фурье дает наилучшее среднеквадратичное приближение к таблично заданной функции f(x), т.е. для нее достигается

.

Имеем ряд Фурье

,

где

.

Рассмотрим задачу наилучшего приближения функции f(x) тригонометрическим многочленом:

.

Известны значения f(x) в n+1 точке отрезка [-l, l]и известно, что p - порядок многочлена удовлетворяет условию 2p + 1 < n +1(число узлов многочлена должно быть не меньше числа неизвестных коэффициентов полинома).

Составим функцию:

F(a0, a1,…, ap, b1,…, bp) =.

Нужно подобрать такие переменные a0, a1,…, ap, b1,…, bp, при которых функция F достигает минимума. Функция неотрицательна и непрерывно дифференцируема. Если из условия нулю частных производных F значения a0, a1,…, ap, b1,…, bp определяются однозначно, то при этих условиях достигается минимум F.

Вычислим коэффициенты тригонометрического полинома. Обозначим

.

Тогда

.

Возьмем в качестве точек xi следующие:

и подставляя их в выражения для частных производных функции F найдем коэффициенты a0, a1,…, ap, b1,…, bp:

.

Алгоритм аппроксимации функции отрезками ряда Фурье.

Ввод: Узлы интерполяции X[i], Y[i]' i = 0,1,…, n. Точка  x. Порядок  p аппроксимирующего многочлена Фурье.

Вывод: Вычислить j(x).

Цикл по k:= 1… p выполнить;

A[k]:=0; B[k]:=0;

Цикл по i:= 0… n выполнить;

A[k]:= A[k]+Y[i]*cos.( kp(2i/n-1)); B[k]:= B[k]+Y[i]*sin( kp(2i/n-1));

конец цикла по i;

A[k]:= 2*A[k]/(n+1); B[k]:= 2*B[k]/(n+1);

конец цикла по k;

A[0]:=0;

Цикл по i:=0… n выполнить;

A[k]:= A[k]+Y[i];

конец цикла по i;

A[0]:= A[0]/(n+1);

y:= A[0];

Цикл по i:= 1… p выполнить; y:= y+A[i]*cos.(k*p/l) +B[i]*sin.(k*p/l)+; конец цикла по i;

конец.

Пример. Пусть периодическая функция f(x) с периодом равная 2l = 1на отрезке [0,1]многочлену f(x) = x4 - 3 x3 +2 x. По значениям в 13 равноотстоящих точках требуется найти наилучшее среднеквадратичное приближение f(x) тригонометрическим полиномом 5-го порядка. Вычислить значения функции и полинома в двух произвольных точках. Вычисления проводить с точностью до 0,001.

Запишем необходимые формулы.

,                                        (7.1)

.

Вычисляя значения коэффициентов, получим

j(x) = 0,439+(-0,293cos2px -0,092cos4px +-0,019cos6px -0,047cos8px - 0,043sin10px )+

+(-0,000*sin2px -0,050sin4px -0,002cos6px +0,044cos8px - 0,045sin10px ).

 

j(0,2) »0.279; j(0,8) »0.462; f(0,2) »0.377; f(0,8) »0.474.