3.     Формула Симпсона и ее погрешность.

 

Эта квадратурная формула получается на основе замены подынтегральной функции кусочно-квадратичной функцией. Будем считать n = 2k четным, а узлы равноотстоящими, xi - xi-1 = h = (b a)/n. На каждом отрезке  [x2i -2 , x2i], i = 1, 2,…,k, заменим функцию f(x) интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени: P2(x, f, x2i -2, x2i - 1, x2i ), который имеет вид:

.

Раскроем скобки и запишем формулу в виде

Суммируя полученные приближенные равенства, получим интеграл

(1)

Формула (1) называется формулой Симпсона.

Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет на [a ,b] ограниченную производную третьего порядка

.

Тогда погрешность формулы Симпсона удовлетворяет оценке

.                              (2)

Доказательство. Формула Симпсона возникла в результате замены подынтегральной функции f(x) на [a ,b] кусочно-квадратичной функцией P2(x), которая на отрезке [x2i-2 , x2i] совпадает с интерполяционным многочленом       P2(x, f, x2i -2, x2i - 1, x2i ). Оценим разность R2(x) = f(x) - P2(x ). Каждый из этих x принадлежит какому-то  отрезку [x2i-2 , x2i], но на этом отрезке величина R2(x) есть погрешность квадратичной интерполяции и вычисляется по формуле:

,

zÎ (x2i-2 , x2i). Отсюда

В силу произвольности x Î[a ,b] имеем

Следовательно,

 

Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет на [a ,b] ограниченную производную четвертого порядка,

.

Тогда погрешность формулы Симпсона удовлетворяет оценке

.                              (2)