Формула для оценки главной части погрешности. Погрешности арифметических операций.

 

Оценим, погрешность результата дифференцируемой функции u = f(x1, x2, …, xn) приближенных аргументов x1, x2, …, xn, если известны границы их абсолютных погрешностей  В этом случае точное значение аргумента Xi лежит на отрезке . Точная абсолютная погрешность результата u = f(x1, x2, …, xn) есть

Du = | f(X1, X2, …, Xn) - f(x1, x2, …, xn)|

- модуль полного приращения функции. Главной частью приращения является полный дифференциал du:

.

Тогда за границу абсолютной поверхности принимается величина

                                                                   (1.1)

Отсюда получаем границу относительной погрешности

                                (1.2)

Применим формул (1.1) и (1.2) к частным случаям функций.

1. Пусть u = ±x1 ± x2 ±± xn. Тогда и . При сложении и вычитании приближенных чисел их предельные абсолютные погрешности складываются.

2. Пусть u = x1 x2 xn  и все сомножители положительны. Тогда ln u = ln x1 + ln x2+…+ ln xn,    и . При умножении  приближенных чисел их предельные относительные погрешности складываются.

3. Пусть u = x1 /x2  и x1 > 0, x2 > 0. Тогда ln u = ln x1 - ln x2,    и . При делении  приближенных чисел их предельные относительные погрешности складываются.

4.     Пусть u = x1 + x2 +…+ xn  и все слагаемые положительны. Пусть . Тогда

.

Относительная погрешность суммы положительных чисел не превосходит максимальной относительной погрешности слагаемых.

5.     Пусть u = x1 - x2. Тогда

.

Относительная погрешность разности положительных чисел сильно возрастает, если x1 - x2 ® 0.

Нередко возникает обратная задача теории погрешностей, какие данные необходимо подать на вход, чтобы получить результат заданной точности. Можно показать, что за границу абсолютной погрешности аргументов можно принять числа .

Рассмотренный выше способ учета погрешностей, основан либо на указанных правилах учета погрешностей, либо на параллельной работе с верхней и нижней границами данных. Это с одной стороны либо громоздко, либо маловероятны крайние допустимые границы погрешностей. Довольно часто применяются вероятностно-статистические оценки, которые подкрепляют подход, разработанный академиком А.Н. Крыловым для работы с  приближенными данными.

Значащими цифрами числа в его позиционной записи называются все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила А.Н. Крылова действий с приближенными числами.

1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством десятичных знаков.

2. При умножении и делении приближенных чисел в результате следует сохранять столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим количеством значащих цифр.

3. Результаты промежуточных вычислений должны иметь один или два запасных знака (которые затем должны быть отброшены).

Пример. Найти приближенное значение выражения

.