3.     Формула трапеции и ее погрешность

 

Разобьем отрезок [a, b] на n отрезков точками x0 = a, x1,…, xn = b, причем x0 < < x1 <…< xn . Затем воспользуемся кусочно-многочленной интерполяцией какой-нибудь степени k ³ 1.  Заменим подынтегральную функцию  y = f(x) какой-нибудь кусочно-монотонной функцией

Pk(x) = Pk(x, f, x0, x1,…, xn).

Функция Pk(x) на каждом отрезке [xi-1 , xi] есть многочлен степени не выше k.

Для вычисления интеграла пользуемся приближенным равенством

                        (1)

Правую часть этого равенства можно записать в виде

.                                           (2)

Каждое слагаемое в правой части – интеграл от многочлена степени не выше k с которым функция Pk(x, f, x0, x1,…, xn) совпадает на отрезке [xi-1 , xi] и его можно вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница, выразив его через числа x0, x1,…, xn и f(x0), f(x1),…, f(xn). Таким образом формула (1) является квадратурной формулой.

Справедлива следующая оценка квадратурной формулы:

     (3)

Воспользовавшись оценкой погрешности кусочно-многочленной интерполяции, получим:

                               (4)

где . Тогда получаем теорему.

Теорема 1. Пусть функция f(x) имеет на [a ,b]ограниченную производную порядка k+1,

.

Тогда

.                   (5)

Конкретизируем формулу (1) в случае k = 1 и при равноотстоящих узлах xi,

xi - xi-1  = h. В этом случае интеграл

есть площадь трапеции и равен полусумме оснований этой трапеции (yi-1 + yi)/2 на ее высоту h = (b-a)/n, т.е.

.

Суммируя эти равенства почленно для i = 1, 2,…,n приходим к формуле

.

Которую удобно преобразовать в формулу.

.                (6)

Уточним общую формулу (4) погрешности квадратурной формулы для случая формулы трапеции (6). На каждом отрезке функция P1(x) совпадает с интерполяционным многочленом первой степени. Поэтому на каждом отрезке   [xi-1 , xi] справедлива оценка:

.

Оценка погрешности (3) при k =1 в равноотстоящих узлах для формулы трапеции принимает вид:

                           (7)

Таким образом, эта оценка гарантирует убывание погрешности при h ® 0 не медленнее, чем h2.

Замечание 1. Для периодических функций f(x) с периодом b a точность формулы трапеции для интеграла  самонастраивается на гладкость; порядок точности по h возрастает с ростом числа производных периодической функции. Справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть f(x) – периодическая функция с периодом T = b a,  имеющая  ограниченные производные до некоторого  порядка k,

.

Тогда погрешность формулы трапеции будет .