1.     Численное дифференцирование

 

С задачей численного дифференцирования сталкиваются тогда, когда хотят найти производную функции, заданной таблицей, или тогда, когда производная аналитически заданной функции имеет сложное для вычислений выражение. Задача численного дифференцирования некорректна в следующем смысле: малые изменения в значении функции могут привести к довольно большим различиям в значениях производных.

Пусть  f(x) - функция, для которой необходимо вычислить l -ую производную в точке отрезка [a, b], и пусть jn(x) - интерполирующий ее многочлен. Погрешность интерполирования равна: R(x) = f(x) - jn(x). В предположении, что f(x) и jn(x) дифференцируемы l раз, получаем R(l)(x) = f(l)(x) - jn(l)(x). Погрешность R(l)(x) может оказаться очень большая даже при малой погрешности R(x).

Будем считать узлы xi равноотстоящими. Построим интерполяционный многочлен для f(x), например интерполяционный многочлен Ньютонаj(x). Положим, на отрезке f ' (x) »j '(x). Поскольку

то для получим

.                     (1.1)

Формула (1.1) упрощается, если значение производной ищется в одном из узлов таблицы: x = xi = x0 + ih. Тогда

Наиболее часто используется формула с двумя или тремя узлами . В этом случае значения производных выражаются через значения функции. Например,

 ,                                                   (1.2)

               (1.3)

интерполяции

 Приведем оценку метода численного дифференцирования для функции, заданной аналитически и дифференцируемой (n +1) раз. Если функция интерполируется многочленом Ньютона , то погрешность интерполяции равна

,

x = x0 + uh, u = u(x), h = h(x), x0 £ h £ xn.

Так что

.

В точке x = x0  погрешность равна

Для оценки можно использовать (n +1)-е разности, . Подставляя это выражение  в выражение для R '(x), получим

.

Таким образом, погрешность метода численного дифференцирования тем меньше чем меньше шаг, но при этом увеличиваются вычислительные ошибки.

При вычислении по формуле (1.3) погрешность численного дифференцирования не превосходит величину

,

а погрешность округления равна e/h. Таким образом суммарная погрешность равна Mh2/6 + e/h и она достигает минимума при       равного 3e/2h.