Численное интегрирование. Формула прямоугольников и ее погрешность

 

Пусть  дана функция f(x). Требуется найти интеграл  на отрезка [a, b]. Если подынтегральная функция f(x) задана аналитически, и для f(x) известна первообразная F(x), то интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:.

В практической деятельности часто применяются численные методы интегрирования в сиду следующих причин:

1)     функция f(x) задана таблично: yi = f(xi); i = 1,2,…, n;

2)     первообразная не выражается через элементарные функции и или выражается через них очень сложно.

Численные методы интегрирования основываются, на геометрическом смысле определенного интеграла, выражающего площадь криволинейной трапеции под графиком интегрируемой функции на отрезке [a, b]. Все численные методы интегрирования приближенно вычисляют указанную площадь приближенными методами и сводятся к выполнению следующих действий:

1)     подынтегральная функция аппроксимируется интерполяционным многочленом;

2)     отрезок [a, b] интегрирования делится на части [xi, xi+1]; i = 1,2,…, n; и строится интерполяционный многочлен для каждой части;

3)     вычисляется приближенно площади Si; i = 1,2,…, n, частичных трапеций;

4)     приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций:

.

Формулы для приближенного вычисления определенного интеграла называются квадратурными формулами. Величина называется остаточным членом погрешности квадратурной формулы.

Если в каждой части деления отрезка [a, b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени (отрезком прямой, параллельной оси Ох, то квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод приближенного интегрирования методом прямоугольников.

Рассмотрим два случая.

1. Функция f(x) задана аналитически. Тогда разделим отрезок [a, b] на частей точками xi = a +  ih; i = 1,2,…, n; h = (b-a)/n - шаг разбиения. На каждом участке через узловые точки проводим многочлен нулевой степени и график подынтегральной функции на отрезке заменяется ломаной линией, отрезки которой параллельны оси Ох. Площадь криволинейной трапеции заменяется суммой площадей прямоугольников.

Если высота каждого прямоугольника на отрезке [xi, xi+1] равна значению функции f(x) в середине отрезка[xi, xi+1] , то получается квадратурная формула:

; yi = f(xi +h/2).

2. Функция f(x) задана таблично в неравноотстоящих точках. В этом случае квадратурные формулы имеют вид:

,  .

Оценим погрешность интегрирования. Для этого рассмотрим разность

.

Предположим, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема на [xi, xi  + h]. Тогда имеем

.

Отсюда

.

Имеем

,

где q = f ''(h),h Î[xi, xi+1]. Отсюда

.

Применяя найденную формулу, получим

.

Отсюда окончательно получаем формулу

.

Таким образом, формула прямоугольников имеет вид:

,                                            (2.1)

 а остаточный член оценивается величиной

                                                              (2.2)

где М2 наибольшее значение производной второй производной функции f(x) на отрезке [a, b].

Замечание. Количество n узлов, а следовательно и шаг h разбиения можно рассчитать по формуле (2.2). Если же вторую производную сложно оценить, то применяется правило Рунге: на каждом шаге вычисления число n узлов интегрирования увеличивается в два раза, следовательно, шаг h разбиения уменьшается в два раза. Если Ih/2, Ih - интегралы вычисленные с шагом h/2 и h и | Ih/2 - Ih | £ e, то требуемая точность вычислений интеграла достигнута. Если же | Ih/2 - Ih | > e, то расчет повторяется с шагом h/4 и сравнивают. Если сумма абсолютных погрешностей вычисления интегралов превышает e-e1, то для этого шага нельзя применять правило Рунге и необходимо увеличивать значение e.

Алгоритм интегрирования по формуле прямоугольников.

Ввод: Узлы интерполяции X[i], Y[i]' i = 0,1,…, n.

Вывод: Вычислить l:= f(х).

l:= 0; с:= 1;

Цикл по j:= 0 то n выполнить

Цикл по i:= 0 то n выполнить

        если j<>i, то c:= c*(x-Z[i])/(X[j]-X[i])

конец цикла по i;

l:= l +Y[j]*c;

конец цикла по j;

конец.