Метод Зейделя

 

Метод Зейделя это видоизменение МПИ (7.3) решения СЛАУ, приведенной к виду (7.2), при котором для вычисления i-й компоненты k-го приближения к вектору x(k) используются уже найденные при этом приближении значения первых i-1 компонент. Приближения по методу Зейделя определяются системой равенств:

                                         (7.9)

 

 

где k =0,1,2,…; xi(0) - компоненты заданного начального вектора x(0).

В методе Зейделя только элементы массива x(k) постепенно заменяются новым. В то время как в МПИ весь массив x(k)  заменяется новым x(k).

Если метод Зейделя есть модификация метода Якоби, то система (7.9) принимает вид:

                           (7.10)

Неявный вид Зейделя из этого представления есть

L x(k+1) + D x(k+1) +U x(k) = b.

Если треугольная матрица L +D обратима, то вектор x(k+1) можно получить по формуле

x(k+1)  = -(L +D)-1U x(k)  + (L +D)-1b.                                             (7.11)

Это уравнение определяет МПИ для системы (7.2) в которой B = -(L +D)-1U , c = (L +D)-1b.  Тогда уравнение (7.1) МПИ принимает вид

x  = -(L +D)-1U x  + (L +D)-1b ,                                              (7.12)

В развернутом виде систему (7.5) можно представить в виде:

 

Замечания. За начальное приближение в МПИ Якоби и его модификации Зейделя можно взять вектор.

Для метода Якоби - Зейделя справедливы теоремы 7.3 и 7.4 при этом метод Зейделя сходится, причем быстрее, чем метод Якоби.

Иногда перестановкой уравнений в системе местами ее можно привести к системе, имеющей диагональное преобладание. Из СЛУ выделим те уравнения, у которых есть коэффициенты по модулю больше суммы всех остальных коэффициентов уравнения. Переставим уравнения так, чтобы эти выделенные коэффициенты оказались главной на диагонали. Из оставшихся уравнений составим такие линейно независимые комбинации, чтобы привести систему к системе с преобладанием диагональных коэффициентов.

Метод Зейделя прост и просто программируется. Он обладает свойством самоисправляемости сходящегося процесса. Погрешности вычислений по методу Зейделя не накапливаются. Итерационные методы при условии сходимости предпочтительнее прямых.

При реализации метода Зейделя по формулам (7.10) необходимо проводить итерации до тех пор, пока не выполнится условие

,

e - требуемая точность вычисления. Используя определение нормы это можно представить в виде

.

 

Определение 7.1. Система (7.1) называется нормальной, если матрица А положительно определена.

Теорема 7.5. Если система (7.1) - нормальна, то метод Зейделя (7.9) сходится.

Теорема 7.6. Если det A ¹ 0, то система ATAx = ATb  - нормальная.

Алгоритм решения СЛАУ методом Якоби Зейделя.

Ввод: Матрица A[i,j] порядка n с диагональным преобладанием, матрица B[i],e - точность вычисления.

Вывод: матрицу x[i] решения системы.

с:=0; Цикл по i: = 1,…,n выполнять p;=0;

             Цикл по j: = 1,…,n выполнять  если i<>j ,то p:= p + abs(A[i,j]/A[i,i]); конец цикла по j;

Если с < p, то с:=p;

         конец цикла по i;

Цикл по i: = 1,…,n выполнять X[i]:= B[i1]/A[i,i]; конец цикла по i;

1.      p:=0;

        Цикл по j: = 1, …,n выполнять c:= X[j]; X[j]:= B[j1

              Цикл по i: = 1,…, n выполнять Если i ¹ j, то X[j]:= X[j] -A[j,i]*X[i]; конец цикла по i;

              X[j]:= X[j]/ A[j,j]; если abs(c- X[j]) > (1-c)/c*e, то p= p +1;

         конец цикла по j;

         если p >1, то идти к 1

         иначе конец.

Пример. Методом Зейделя решить систему (точность 0,01)

.

Приведем систему к виду (7.7)

.

 

i - шаг

x1

x2

x3

||x||

0

1

2

3

4

5

6

1,4524

0,6024

0,9800

0,8415

0,7618

0,7515

0,7523

1,1385

0,6986

1,0981

1,2677

1,2853

1,2817

1,2790

0,7321

0,2904

0,0309

-0,0117

-0,0095

-0,0057

-0,0046

-

0,4399

0,3995

0.1696

0,0797

0,0103

0,0027

 

Ответ: (0,752; 1,289; -0,005)